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证明不存在最大素数的方法

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140111

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证明不存在最大素数的方法




上小学的时候,我们就知道所有的自然数 可以分为质数(素数)和合数两类,当然 还特别规定了“1既不是质数,也不是合数” 。100以内的质数,从小到大依次是:2、 3、5、7、11、13、17、19、……、83、8 9、97。不用说了,你一定会背下来。那么 质数的个数是不是有限多的呢? 在解决这个问题之前,我们先来看看另一 个问题:怎样判断一个已知自然数是不是 质数。比如,143是不是质数? 你一定会按照下面这个步骤去判断:先用 最小的质数2去除143,不能整除;再用3 去试试,还是不行;再依次用5、7试试, 还是不行;11呢?行!143=11×13,所以 143不是质数,而是合数。所以,判断一个 数是不是质数,只需用比这个数小的所有 质数,依次去除它即可,如果都不能整除 的话,这个数就一定是质数;相反,只要 这个数能够被某一个质数整除,这个数就 一定是合数。这种方法所依据的原理是: 每一个合数都可以表示成若干个质数的乘 积。不用说,这叫做“分解质因数”,也是小 学数学的知识。 我们先假设质数的个数是有限多的,那么 必然存在一个“最大的质数”,设这个“最大 的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的 所有质数,把它们连乘起来,就是: 2×3×5×7×11×13×……×N 把这个连乘积再加上1,得到一个相当大的 数M: M=2×3×5×7×11×13×……×N+1 那么这个M是质数还是合数呢? 乍一想, 不难判断,既然N是最大的质数,而且M> N,那么M就应该是合数。既然M是合数, 就可以对M分解质因数。可是试一下就会 发现,我们用从1到N之间的任何一个质数 去除M,总是余1!这个现实,又表明M一 定是质数。 这个自相矛盾的结果,无非说明:最大的 质数是不存在的!如果有一个足够大的质 数N,一定可以像上面那样,找到一个比N 更大的质数M。既然不存在最大的质数, 就可以推知自然数中的质数应该有无限多 个。
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